Вопрос школьника
Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны
Ответ от учителя
Для начала, вспомним определение гомотетии: это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается по прямой, проходящей через одну и ту же точку (центр гомотетии), и расстояние между точками увеличивается или уменьшается в одно и то же число раз (коэффициент гомотетии).
В данном случае, точка S является центром гомотетии, так как все три прямые проходят через нее. Кроме того, треугольники АВС и А1В1С1 имеют общую вершину А (точку пересечения прямых АА1 и ВВ1), что также является признаком гомотетии.
Осталось доказать, что расстояния между соответствующими точками треугольников увеличиваются или уменьшаются в одно и то же число раз. Для этого рассмотрим отрезки SA и SA1. Они параллельны и лежат в разных плоскостях, поэтому их длины отличаются в одно и то же число раз (коэффициент гомотетии). Аналогично, отрезки SB и SB1, SC и SC1 имеют одинаковые коэффициенты гомотетии.
Таким образом, треугольники АВС и А1В1С1 действительно гомотетичны, и коэффициент гомотетии равен отношению длин отрезков SA и SA1 (или SB и SB1, или SC и SC1).
