Вопрос школьника
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны: а) Зсм, 4 см, 5 см; б) Зсм, 4 см, 4 см; в) 4 см, 4 см, 4 см. Сколько плоскостей симметрии у этого прямоугольного параллелепипеда?
Ответ от учителя
а) Для начала нужно определить, какие это ребра. Пусть вершина, из которой они выходят, называется A. Тогда ребра, выходящие из нее, будут AB, AC и AD. Поскольку параллелепипед прямоугольный, то угол между ребрами AB и AC будет прямым. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник ABC, в котором AB = 4 см, AC = 5 см и BC = Зсм. Из теоремы Пифагора следует, что BC^2 = AC^2 — AB^2 = 25 — 16 = 9, то есть BC = 3 см. Таким образом, мы определили все ребра параллелепипеда и можем перейти к поиску плоскостей симметрии.
Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две симметричные части. У прямоугольного параллелепипеда есть три оси симметрии, проходящие через центры противоположных граней. Кроме того, у него есть плоскости симметрии, проходящие через середины противоположных ребер. Всего таких плоскостей 6. Но если все ребра равны, то у параллелепипеда появляются дополнительные плоскости симметрии, проходящие через середины всех ребер. В этом случае плоскостей симметрии будет уже 9.
б) Аналогично предыдущему пункту, определяем ребра параллелепипеда: AB = 4 см, AC = 4 см, BC = Зсм. Так как все ребра, выходящие из вершины A, равны между собой, то треугольник ABC является равнобедренным. Из равенства сторон AB и AC следует, что угол между ребрами AB и AC равен 45 градусам. Таким образом, мы определили все ребра параллелепипеда и можем перейти к поиску плоскостей симметрии.
У этого параллелепипеда также есть три оси симметрии, проходящие через центры противоположных граней, и 6 плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер. Но поскольку все ребра равны, то у параллелепипеда появляются дополнительные плоскости симметрии, проходящие через середины всех ребер. В этом случае плоскостей симметрии будет уже 9.
в) В этом случае все ребра параллелепипеда равны между собой, поэтому у него будет максимальное количество плоскостей симметрии — 9.
