Вопрос школьника
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?
Ответ от учителя
Пусть каждый из трех рабочих работает по очереди $t_1$, $t_2$ и $t_3$ времени соответственно. Тогда первый рабочий выкопает $frac{1}{2}$ ямы за время $t_1+t_2$, второй рабочий выкопает $frac{1}{2}$ ямы за время $t_2+t_3$, а третий рабочий выкопает $frac{1}{2}$ ямы за время $t_1+t_3$. Так как они выкопали всю яму, то суммарное время работы всех трех рабочих равно времени, необходимому для выкопки всей ямы:
$$t_1+t_2+t_3=frac{1}{2}(t_1+t_2)+frac{1}{2}(t_2+t_3)+frac{1}{2}(t_1+t_3)=frac{3}{2}(t_1+t_2+t_3).$$
Отсюда получаем, что $t_1+t_2+t_3=0$, то есть каждый рабочий не работал вообще. Это противоречит условию, поэтому мы делаем вывод, что решения в данной формулировке не существует.
Вероятно, в условии имелось в виду, что каждый рабочий работает столько времени, сколько нужно двум другим вместе, чтобы вырыть половину ямы. В этом случае первый рабочий выкопает $frac{1}{2}$ ямы за время $t_2+t_3$, второй рабочий выкопает $frac{1}{2}$ ямы за время $t_1+t_3$, а третий рабочий выкопает $frac{1}{2}$ ямы за время $t_1+t_2$. Суммируя эти выражения, получаем:
$$frac{1}{2}=frac{t_2+t_3}{2(t_1+t_2)}+frac{t_1+t_3}{2(t_2+t_3)}+frac{t_1+t_2}{2(t_1+t_3)}.$$
Упрощая, получаем:
$$frac{t_1}{t_2+t_3}+frac{t_2}{t_1+t_3}+frac{t_3}{t_1+t_2}=1.$$
Это уравнение называется уравнением Несбитта. Оно имеет единственное положительное решение, которое можно найти, например, методом Лагранжа. После нахождения решения можно найти время, необходимое для выкопки ямы всеми тремя рабочими одновременно, и сравнить его с временем, необходимым для выкопки ямы каждым рабочим по очереди. Отношение этих времен и будет ответом на задачу.
