Вопрос школьника
Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.
Ответ от учителя
Пусть искомое трехзначное число равно $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа. Так как число оканчивается на 7, то $c=7$. Если переставить цифру 7 на первое место, то получится число $cab$. По условию, это число на 324 больше исходного числа $abc$. Это можно записать в виде уравнения:
$$cab = abc + 324$$
Заменяем $c$ на 7 и раскрываем числа в уравнении:
$$7 cdot 100 + ab = 100a + 10b + 7 + 324$$
Упрощаем выражение:
$$700 + ab = 100a + 10b + 331$$
Переносим все слагаемые с $a$ на одну сторону, а с $b$ на другую:
$$ab — 10b — 100a = -369$$
Факторизуем левую часть уравнения:
$$(a-10)b — 100a = -369$$
$$(10-a)b + 100a = 369$$
Так как $a$ и $b$ — цифры, то $10-a$ и $b$ также являются цифрами. Из уравнения видно, что $100a$ делится на 100, а значит, последние две цифры числа $100a$ равны 0. Значит, $a$ должно быть равно 4 или 5, чтобы в сумме с $100a$ получилась цифра 9 в конце числа. Подставляем эти значения в уравнение и находим $b$:
$$6b + 400 = 369 quad Rightarrow quad b = -5$$
$$5b + 500 = 369 quad Rightarrow quad b = -26$$
Но так как $b$ — цифра, то решений у уравнения нет. Значит, трехзначного числа, удовлетворяющего условию, не существует.
