Вопрос школьника
У АВС АВ — 18 см, ВС = 16 см, АС — 24 см. На сторонах АВ і ВС взято точки М і N так, що / ММВ — /. ВАС і ВІУ : N 0 = 3:5. Знайдіть МN
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему синусов. Согласно этой теореме, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно одинаково для всех сторон и углов треугольника.
Обозначим угол АВС через α, угол ВАС через β и угол ВІУ через γ. Тогда по теореме синусов для треугольника АВС:
sin α = ВС / АВ = 16 / 18 = 8 / 9
sin β = АС / АВ = 24 / 18 = 4 / 3
Аналогично, для треугольника ВІУ:
sin γ = ВС / VN = 16 / (5/8)MN = 128 / 5MN
Также из условия задачи известно, что отношение длины отрезка МН к длине отрезка ВН равно 3:5:
MN / VN = 3 / 5
Выразим VN через MN:
VN = 5 / 3 * MN
Теперь можем выразить sin γ через MN:
sin γ = 16 / (5/8)MN = 128 / 5VN = 128 / (5/3)MN = 192 / MN
Таким образом, мы получили выражения для синусов всех трех углов треугольника ВМN. По теореме синусов для этого треугольника:
MN / sin α = VN / sin γ
Подставляем известные значения:
MN / (8 / 9) = (5 / 3)MN / (192 / MN)
Решаем уравнение относительно MN:
8 / 9 = 5 / 3 * 192 / MN
MN = 96
Таким образом, длина отрезка МН равна 96 см.
