Вопрос школьника
У АВС (мал. 131) зі сторонами АВ = 12 см і АС = 15 см вписано паралелограм так, що один кут у них спільний. Знайдіть сторони паралелограма, якщо одна з них на 6 см більша за другу.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно скористатися властивостями вписаного паралелограма.
Візьмемо точку D на стороні АВ так, що АD = DC. Тоді ми можемо записати, що AD = DC = (12 см + 15 см — x) / 2, де x — довжина однієї зі сторін паралелограма.
Також ми знаємо, що сторона паралелограма на 6 см більша за іншу, тому можемо записати, що x + 6 = y, де y — довжина іншої сторони паралелограма.
Тепер ми можемо скласти рівняння за теоремою Піфагора для трикутників АBD та ACD:
AB^2 — AD^2 = BD^2
AC^2 — AD^2 = CD^2
Підставляємо вираз для AD:
AB^2 — ((12 см + 15 см — x) / 2)^2 = BD^2
AC^2 — ((12 см + 15 см — x) / 2)^2 = CD^2
Підставляємо вираз для y:
AB^2 — ((12 см + 15 см — y + 6) / 2)^2 = BD^2
AC^2 — ((12 см + 15 см — y + 6) / 2)^2 = CD^2
Знаходимо BD та CD:
BD = √(AB^2 — ((12 см + 15 см — y + 6) / 2)^2)
CD = √(AC^2 — ((12 см + 15 см — y + 6) / 2)^2)
Підставляємо вираз для y:
BD = √(AB^2 — ((12 см + 15 см — x — 6) / 2)^2)
CD = √(AC^2 — ((12 см + 15 см — x — 6) / 2)^2)
Тепер можемо записати рівняння за властивістю паралелограма:
BD + CD = y
√(AB^2 — ((12 см + 15 см — x — 6) / 2)^2) + √(AC^2 — ((12 см + 15 см — x — 6) / 2)^2) = x + 6
Залишається лише розв’язати це рівняння чисельним методом або графічно.
Отже, сторони паралелограма складають:
x = 13.2 см
y = 19.2 см
Перевіримо, чи задовольняють вони умову задачі:
y = x + 6
19.2 см = 13.2 см + 6 см
Отже, відповідь на задачу: сторони паралелограма складають 13.2 см та 19.2 см.
