Вопрос школьника
У прямокутній трапеції менша основа дорівнює т, а більша
бічна сторона і менша діагональ дорівнюють по п. Знайдіть
більшу діагональ трапеції
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо формулу для обчислення діагоналі трапеції:
d = √(b² + 4ac) / 2a
де d — діагональ трапеції, a і c — бічні сторони трапеції, b — різниця основ трапеції.
За умовою задачі, менша основа трапеції дорівнює т, а більша бічна сторона і менша діагональ дорівнюють по п. Тому ми можемо записати:
a = p
c = p
b = q — t
де p і q — довжини бічних сторін трапеції.
Підставляємо ці значення в формулу для діагоналі:
d = √((q — t)² + 4p²) / 2p
Тепер нам потрібно знайти значення q, тобто більшої основи трапеції. Для цього скористаємося іншою властивістю трапеції:
q = t + 2p / (b / a + 1)
Підставляємо значення a, b і c:
q = t + 2p / ((q — t) / p + 1)
Розв’язуємо це рівняння відносно q:
q = (t + 2p² / (q — t)) / (p / (q — t) + 1)
q(p / (q — t) + 1) = t(q — t) / (q — t) + 2p²
qp + q² — qt = tq — t² + 2p²
q² + qp — qt = t² + 2p²
q(q — t + p) = t² + 2p²
q = (t² + 2p²) / (q — t + p)
Тепер підставляємо це значення q в формулу для діагоналі:
d = √((q — t)² + 4p²) / 2p
d = √(((t² + 2p²) — t)² + 4p²) / 2p
d = √(t⁴ + 4p²t² + 4p⁴) / 2p
d = √(t² + 4p²) / p
Отже, більша діагональ трапеції дорівнює √(t² + 4p²) / p.
