Вопрос школьника
У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник,
який має з трикутником спільний прямий кут.
Знайдіть катети трикутника, якщо сторони прямокутника
дорівнюють 2 см і 7 см.
Ответ от учителя
Позначимо катети рівнобедреного прямокутного трикутника як a і b. Так як трикутник є рівнобедреним, то a = b.
Також, оскільки прямокутник вписаний в трикутник і має з ним спільний прямий кут, то одна з його діагоналей є гіпотенузою трикутника, а інша діагональ є сумою катетів.
Позначимо діагоналі прямокутника як d1 і d2. Тоді d1 = гіпотенуза трикутника, а d2 = a + b.
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, гіпотенуза дорівнює √(a^2 + b^2).
Таким чином, маємо дві рівності:
d1 = √(a^2 + b^2)
d2 = a + b
За умовою задачі, сторони прямокутника дорівнюють 2 см і 7 см, тому d2 = 2 + 7 = 9 см.
Підставляємо d2 у другу рівність і отримуємо:
9 = a + b
Тепер можемо виразити b через a:
b = 9 — a
Підставляємо це у першу рівність і отримуємо:
d1 = √(a^2 + (9 — a)^2)
Розкриваємо дужки і спрощуємо:
d1 = √(2a^2 — 18a + 81)
Тепер можемо підставити це вираз для d1 у першу рівність і отримати рівняння для a:
√(2a^2 — 18a + 81) = d1
Розв’язуємо це рівняння за допомогою квадратного кореня:
2a^2 — 18a + 81 = d1^2
a^2 — 9a + 40.5 — d1^2/2 = 0
Застосовуємо формулу дискримінанту:
D = (-9)^2 — 4(1)(40.5 — d1^2/2)
D = 81 — 162 + 2d1^2
D = 2d1^2 — 81
Так як a — це довжина катета, то вона повинна бути додатньою. Тому, щоб мати розв’язок, дискримінант повинен бути не менше нуля:
2d1^2 — 81 ≥ 0
d1^2 ≥ 40.5
Отже, маємо:
d1 ≥ √40.5 ≈ 6.36
Тепер можемо підставити це значення d1 у рівняння для a:
√(2a^2 — 18a + 81) = 6.36
Квадратуючи обидві частини, отримуємо:
2a^2 — 18a + 81 = 40.5696
2a^2 — 18a + 40.4304 = 0
Розв’язуємо це квадратне рівняння за допомогою формули:
a = (18 ± √(18^2 — 4(2)(40.4304))) / (2(2))
a ≈ 3.43 або a ≈ 5.89
Так як a = b, то маємо два можливих розв’язки:
a = b ≈ 3.43
або
a = b ≈ 5.89
Отже, катети рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнюють близько 3.43 см або 5.89 см.
