Вопрос школьника
У рівнобедреному АВС АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.
Знайдіть радіус вписаного кола, якщо висота ВИ дорівнюс
8 см.
Ответ от учителя
Для рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною одночасно. Оскільки висота ВІ дорівнює 8 см, то медіана АМ також дорівнює 8 см. Застосуємо формулу медіани:
$$AM = frac{1}{2}sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}$$
де $a$, $b$, $c$ — сторони трикутника. Оскільки трикутник рівнобедрений, то $b=c=10$ см, $a=12$ см. Підставляємо значення:
$$AM = frac{1}{2}sqrt{2cdot10^2 + 2cdot10^2 — 12^2} = frac{1}{2}sqrt{400} = 10$$
Таким чином, медіана АМ дорівнює 10 см. Радіус вписаного кола можна знайти за формулою:
$$r = frac{S_{triangle ABC}}{p}$$
де $S_{triangle ABC}$ — площа трикутника, $p$ — півпериметр трикутника. Площу трикутника можна знайти за формулою Герона:
$$S_{triangle ABC} = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
де $p=frac{a+b+c}{2}$ — півпериметр трикутника. Підставляємо значення:
$$p = frac{10+10+12}{2} = 16$$
$$S_{triangle ABC} = sqrt{16cdot(16-12)cdot(16-10)cdot(16-10)} = sqrt{16cdot4cdot6cdot6} = 48$$
$$r = frac{S_{triangle ABC}}{p} = frac{48}{16} = 3$$
Отже, радіус вписаного кола дорівнює 3 см.
