Вопрос школьника
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнюс 24 см,
а бічна сторона 20 см. Знайдіть, в якому відношенні бісектриса
кута при основі ділить висоту, проведену до
основи. Знайдіть довжини цих відрізків, якщо висота
дорівнює 16 см
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно використати властивості рівнобедреного трикутника та відношення між бісектрисою та висотою.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то його бісектриса ділить основу на дві рівні частини. Тобто, довжина однієї з частин основи дорівнює 12 см.
Далі, за теоремою Піфагора, знаходимо довжину другої частини основи:
$$
a^2 = c^2 — b^2 = 20^2 — 12^2 = 256
$$
$$
a = sqrt{256} = 16
$$
Отже, довжина другої частини основи дорівнює 16 см.
Тепер застосуємо відношення між бісектрисою та висотою. За цим відношенням, бісектриса ділить висоту на відрізки, пропорційні довжинам частин основи. Тобто:
$$
frac{AD}{BD} = frac{c}{b} = frac{20}{12} = frac{5}{3}
$$
де AD — відрізок, на який бісектриса ділить висоту, BD — інший відрізок.
Знаємо, що висота дорівнює 16 см. Тоді:
$$
AD + BD = 16
$$
$$
frac{AD}{BD} = frac{5}{3}
$$
З цих двох рівнянь можна скласти систему і розв’язати її методом підстановки:
$$
begin{cases}
AD + BD = 16 \
frac{AD}{BD} = frac{5}{3}
end{cases}
$$
$$
begin{cases}
AD = frac{5}{8} cdot 16 \
BD = frac{3}{8} cdot 16
end{cases}
$$
$$
begin{cases}
AD = 10 \
BD = 6
end{cases}
$$
Отже, бісектриса ділить висоту на відрізки довжиною 10 см та 6 см.
