Вопрос школьника
У розгорнутому куті AOD проведено внутрішні промені ОВ і ОС. Знайдіть градусну міру кута ОАВ, якщо ∟ВОС = 90° і ∟AOK = ∟COD.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам знадобиться декілька геометричних фактів.
1. У розгорнутому куті сума всіх його внутрішніх кутів дорівнює 180°.
2. У прямокутному трикутнику кут, що лежить напроти гіпотенузи, є прямим (тобто дорівнює 90°).
3. У двох трикутниках зі спільним кутом і спільним катетом, які відрізняються лише другим катетом, кути, що лежать напроти цього другого катета, є рівними.
За умовою задачі ми знаємо, що ∟ВОС = 90° і ∟AOK = ∟COD. Оскільки ОВ і ОС є променями, то вони лежать на сторонах розгорнутого кута AOD і утворюють з ним кут О. Таким чином, ми можемо розглядати трикутники ОАВ і ОСD, які мають спільний кут О та спільний катет ОД.
За фактом №3 ми знаємо, що ∟AOK = ∟COD, тому кути ОАК і ОCD є рівними. За фактом №2 ми знаємо, що ∟ВОС = 90°, тому кут ОСВ також дорівнює 90°. За фактом №1 сума всіх внутрішніх кутів трикутника ОСВ дорівнює 180°, тому ∟ОСВ = 90° — ∟ОСБ.
Зараз ми можемо скласти рівняння для кута ОАВ:
∟ОАВ = ∟ОАК + ∟КАВ = ∟ОCD + ∟КАВ = ∟ОСВ + ∟КАВ = (90° — ∟ОСБ) + ∟КАВ.
Залишилося знайти значення кута ∟КАВ. Оскільки ОВ і ОС є променями, то вони мають спільну точку О і утворюють з кутом AOD розгорнутий кут. За фактом №1 сума всіх внутрішніх кутів розгорнутого кута AOD дорівнює 180°, тому ∟AOD = 180° — ∟КОВ — ∟КОС.
Але ми знаємо, що ∟ВОС = 90°, тому ∟КОВ + ∟КОС = ∟ВОК = 180° — ∟AOK — ∟COD = 180° — 2∟AOK. Таким чином, ми можемо записати:
∟AOD = 180° — (180° — 2∟AOK) = 2∟AOK.
Звідси ми можемо знайти значення кута ∟КАВ:
∟КАВ = 180° — ∟AOD/2 = 180° — (2∟AOK)/2 = 180° — ∟AOK.
Підставляючи це значення в рівняння для кута ОАВ, ми отримуємо:
∟ОАВ = (90° — ∟ОСБ) + (180° — ∟AOK) = 270° — ∟ОСБ — ∟AOK.
Отже, градусна міра кута ОАВ дорівнює 270° — ∟ОСБ — ∟AOK. Це значення можна обчислити, якщо ми знаємо градусні міри кутів ∟ОСБ і ∟AOK.
