Вопрос школьника
У треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1 АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, А1С1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников
Ответ от учителя
Из условия задачи известно, что у треугольников АВС и А1В1С1 соответствующие углы равны: ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1. Это означает, что треугольники подобны друг другу.
По определению подобных треугольников, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть:
AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1
Известны значения сторон AB, BC и A1B1, A1C1. Найдем оставшиеся стороны треугольников.
AB = 5 м, BC = 7 м, A1B1 = 10 м, A1C1 = 8 м.
Найдем отношения сторон:
AB/A1B1 = 5/10 = 1/2
BC/B1C1 = 7/8
AC/A1C1 = ?
Для нахождения AC необходимо знать значение A1B1C1. Однако, его можно найти, используя теорему косинусов для треугольника A1B1C1:
A1C1^2 = A1B1^2 + B1C1^2 — 2*A1B1*B1C1*cos(∠A1B1C1)
cos(∠A1B1C1) = (A1B1^2 + B1C1^2 — A1C1^2)/(2*A1B1*B1C1)
cos(∠A1B1C1) = (10^2 + 8^2 — AC^2)/(2*10*8)
cos(∠A1B1C1) = (164 — AC^2)/160
Так как ∠А1 = ∠А, то ∠A1B1C1 = ∠ABC. Используя теорему косинусов для треугольника ABC, найдем значение AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2*AB*BC*cos(∠ABC)
cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 — AC^2)/(2*AB*BC)
cos(∠ABC) = (25 + 49 — AC^2)/(2*5*7)
cos(∠ABC) = (74 — AC^2)/70
Так как ∠A1 = ∠А, то ∠A1C1B1 = ∠ACB. Используя теорему косинусов для треугольника A1C1B1, найдем значение A1B1:
A1B1^2 = A1C1^2 + B1C1^2 — 2*A1C1*B1C1*cos(∠A1C1B1)
cos(∠A1C1B1) = (A1C1^2 + B1C1^2 — A1B1^2)/(2*A1C1*B1C1)
cos(∠A1C1B1) = (8^2 + B1C1^2 — 10^2)/(2*8*B1C1)
cos(∠A1C1B1) = (64 + B1C1^2 — 100)/(16*B1C1)
cos(∠A1C1B1) = (B1C1^2 — 36)/16B1C1
Так как ∠B1 = ∠B, то ∠A1C1B1 = ∠ACB. Используя теорему косинусов для треугольника ACB, найдем значение B1C1:
B1C1^2 = A1C1^2 + A1B1^2 — 2*A1C1*A1B1*cos(∠A1C1B1)
cos(∠A1C1B1) = (A1C1^2 + A1B1^2 — B1C1^2)/(2*A1C1*A1B1)
cos(∠A1C1B1) = (8^2 + 10^2 — B1C1^2)/(2*8*10)
cos(∠A1C1B1) = (164 — B1C1^2)/160
Теперь, зная значения A1B1 и B1C1, можно найти значение AC:
AB/A1B1 = 1/2
BC/B1C1 = 7/8
AC/A1C1 = (AB/A1B1)*(BC/B1C1) = (1/2)*(7/8) = 7/16
AC = (7/16)*A1C1 = (7/16)*8 = 7/2 м
Таким образом, найдены все стороны треугольников АВС и А1В1С1:
AB = 5 м, BC = 7 м, AC = 7/2 м
A1B1 = 10 м, B1C1 = 8 м, A1C1 = 8 м
