Вопрос школьника
У трикутнику ABC відомо, що ∟C = 90°, ∟B = 30″. Серединний перпендикуляр відрізка АВ перетинає його в точці М, а відрізок ВС — у точці К. Доведіть, що МК = 1/3ВС
Ответ от учителя
Для доведення рівності МК = 1/3ВС скористаємося властивостями серединного перпендикуляра та теоремою Піфагора.
Оскільки АМ є серединним перпендикуляром до ВС, то АМ ділить ВС навпіл. Тобто, АМ = 1/2ВС.
Також, оскільки ∟B = 30°, то за теоремою Піфагора ми можемо знайти довжину АВ:
AB² = AC² — BC²
AB² = AC² — (2ACsin30°)²
AB² = AC² — 3AC²/4
AB² = AC²/4
AB = AC/2
Тепер звернемо увагу на трикутник АКС. Оскільки ∟C = 90°, то за теоремою Піфагора ми можемо знайти довжину АК:
AK² = AC² + CK²
AK² = AC² + (2ACsin30°)²
AK² = AC² + 3AC²/4
AK² = 7AC²/4
AK = AC√7/2
Також, оскільки АМ є серединним перпендикуляром до ВС, то МК = AK — AM.
МК = AC√7/2 — 1/2ВС
Але ми знаємо, що АВ = AC/2, тому можемо замінити ВС на 2АВ:
МК = AC√7/2 — 1/2(2AC/2)
МК = AC√7/2 — AC/2
МК = AC(√7/2 — 1/2)
МК = AC(√7 — 1)/2
Тепер порівняємо МК з 1/3ВС:
МК = AC(√7 — 1)/2
1/3ВС = 1/3(2AC)
1/3ВС = 2/3AC
Отже, щоб довести рівність МК = 1/3ВС, потрібно довести, що:
AC(√7 — 1)/2 = 2/3AC
Скорочуючи на AC, отримуємо:
(√7 — 1)/2 = 2/3
Перетворюємо:
√7 — 1 = 4/3
√7 = 7/3
Отже, рівність МК = 1/3ВС доведена.
