Вопрос школьника
У трикутнику ABC відомо, що ∟C = 90°, ∟BAC = 60°, відрізок AD — бісектриса, відрізок CD на 3 см менший від відрізка BD. Знайдіть бісектрису AD
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо теорему бісектрис про те, що бісектриса ділить протилежний кут на дві рівні частини і відношення сторін відрізків, які утворюють цей кут, дорівнює відношенню інших двох сторін трикутника.
Оскільки ∟BAC = 60°, то ∟BAD = ∟CAD = 30° (бо AD — бісектриса). Позначимо довжину відрізка CD через х. Тоді довжина відрізка BD дорівнює х + 3. Застосуємо теорему синусів до трикутника ABD:
AB/sin(60°) = BD/sin(30°) = (х+3)/sin(30°)
AB = (х+3)/2
Застосуємо теорему синусів до трикутника ACD:
AC/sin(60°) = CD/sin(30°) = x/sin(30°)
AC = x√3
Застосуємо теорему синусів до трикутника BCD:
BC/sin(90°) = CD/sin(∟BCD) = BD/sin(∟CBD)
BC = BD
BC = (х+3)/sin(∟CBD)
∟CBD = 180° — 90° — 30° = 60°
BC = (х+3)/sin(60°)
Таким чином, маємо систему рівнянь:
AB = (х+3)/2
AC = x√3
BC = (х+3)/sin(60°)
Оскільки трикутник ABC — прямокутний, то за теоремою Піфагора:
AB² + BC² = AC²
((х+3)/2)² + ((х+3)/sin(60°))² = (x√3)²
(х+3)²/4 + (х+3)²/3 = 3x²
13(х+3)²/12 = 3x²
13(х² + 6х + 9)/12 = 3x²
13х² + 78х + 117 = 36x²
13х² — 36x² + 78х + 117 = 0
3х² — 8х — 9 = 0
(3х + 3)(х — 3) = 0
х = 3 або х = -1
Оскільки довжина відрізка не може бути від’ємною, то х = 3. Тоді довжина відрізка BD дорівнює 6, а бісектриса AD ділить кут BAC на дві рівні частини і має довжину 3√3.
