Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — У трикутнику ABC відомо, що АВ = ВС, відрізки АЕ i CF — бісектриси цього трикутника. Доведіть, що EF ‖ АС
Ответ от учителя
Для доведення того, что $EF parallel AC$, нам необходимо использовать свойства биссектрис треугольника.
Из условия задачи известно, что $AB = BC$, а также что $AE$ и $CF$ являются биссектрисами треугольника $ABC$. Это означает, что они делят углы $A$ и $C$ пополам, соответственно.
Рассмотрим треугольник $ABC$ и проведем биссектрису угла $A$. Обозначим точку пересечения этой биссектрисы с стороной $BC$ как $D$.
Так как $AE$ является биссектрисой угла $A$, то $angle EAD = angle EAB$. Также, так как $AB = BC$, то $angle EAB = angle BAC = angle ACB$. Следовательно, $angle EAD = angle ACB$.
Аналогично, рассмотрим треугольник $ABC$ и проведем биссектрису угла $C$. Обозначим точку пересечения этой биссектрисы с стороной $AB$ как $G$.
Так как $CF$ является биссектрисой угла $C$, то $angle FCG = angle FCB$. Также, так как $AB = BC$, то $angle FCB = angle ACB = angle BAC$. Следовательно, $angle FCG = angle BAC$.
Теперь рассмотрим треугольник $AED$ и треугольник $CFG$. Они имеют две пары соответственных углов, которые равны между собой: $angle EAD = angle ACB$ и $angle FCG = angle BAC$. Также, у них есть общий угол $angle AED = angle CFG$, так как они лежат на одной прямой $AC$.
Следовательно, по признаку подобия треугольников, мы можем заключить, что треугольники $AED$ и $CFG$ подобны друг другу.
Так как треугольники $AED$ и $CFG$ подобны, то их соответственные стороны пропорциональны. В частности, $frac{AE}{CF} = frac{AD}{CG}$.
Но также известно, что $AB = BC$, а значит, $AD = CD$. Также, так как $AE$ и $CF$ являются биссектрисами, то $AD$ и $CG$ являются высотами треугольников $ABC$ и $ACF$, соответственно.
Следовательно, мы можем записать $frac{AE}{CF} = frac{AD}{CG} = frac{CD}{CG}$.
Но $frac{CD}{CG} = frac{AC}{AG}$, так как $CD$ и $CG$ являются высотами треугольника $ACG$.
Таким образом, мы получаем, что $frac{AE}{CF} = frac{AC}{AG}$.
Но это означает, что отрезки $AE$ и $CF$ делят сторону $AC$ пополам, то есть $EF parallel AC$.
Таким образом, мы доказали, что $EF parallel AC$, что и требовалось доказать.
