Вопрос школьника
У выпуклого четырехугольника ABCD AB = CD = 52 см, ∠ ABD = ∠CDB, диагонали пересекаются в точке O, PABO = 138 см, PBOC = 188 см. Найдите периметр этого четырехугольника
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов для треугольников ABO и CBO:
$frac{AB}{sin{angle ABO}} = frac{BO}{sin{angle BAO}} = frac{AO}{sin{angle AOB}}$
$frac{BC}{sin{angle BCO}} = frac{BO}{sin{angle CBO}} = frac{CO}{sin{angle COB}}$
Заметим, что $angle ABO = angle CBO$ и $angle BAO = angle CBO$, так как $angle ABD = angle CDB$. Поэтому:
$frac{AB}{sin{angle ABO}} = frac{BC}{sin{angle BCO}}$
$frac{AO}{sin{angle AOB}} = frac{CO}{sin{angle COB}}$
Также заметим, что треугольники ABO и CBO равнобедренные, так как $AB = CD$ и $BO$ — общая сторона. Поэтому $AO = CO$ и $angle AOB = angle COB$. Подставим это в уравнения выше:
$frac{AB}{sin{angle ABO}} = frac{BC}{sin{angle BCO}}$
$frac{AO}{sin{angle AOB}} = frac{AO}{sin{angle COB}}$
$frac{AB}{sin{angle ABO}} = frac{BC}{sin{angle BCO}} = frac{2AO sin{angle AOB}}{sin{angle BCO}}$
Отсюда получаем:
$frac{AB}{BC} = frac{sin{angle ABO}}{sin{angle BCO}} = frac{sin{angle AOB}}{sin{angle COB}}$
Так как $angle AOB = angle COB$, то $frac{AB}{BC} = 1$. Значит, $AB = BC = CD = 52$.
Теперь рассмотрим треугольник ABO. Из угла PABO мы знаем две стороны и угол между ними, поэтому можем найти третью сторону:
$AO = frac{PA}{sin{angle PAB}} = frac{52}{sin{138^circ}}$
Аналогично, из угла PBOC мы можем найти BO:
$BO = frac{PC}{sin{angle PBC}} = frac{52}{sin{188^circ}}$
Теперь можем найти длины диагоналей. Из треугольника ABO:
$BD^2 = AB^2 + BO^2 — 2AB cdot BO cdot cos{angle ABO}$
$BD^2 = 52^2 + left(frac{52}{sin{188^circ}}right)^2 — 2 cdot 52 cdot frac{52}{sin{188^circ}} cdot cos{angle ABO}$
Аналогично, из треугольника CBO:
$BD^2 = BC^2 + BO^2 — 2BC cdot BO cdot cos{angle CBO}$
$BD^2 = 52^2 + left(frac{52}{sin{188^circ}}right)^2 — 2 cdot 52 cdot frac{52}{sin{188^circ}} cdot cos{angle CBO}$
Так как $angle ABO = angle CBO$, то $cos{angle ABO} = cos{angle CBO}$. Подставляем значения и находим $BD$:
$BD = sqrt{52^2 + left(frac{52}{sin{188^circ}}right)^2 — 2 cdot 52 cdot frac{52}{sin{188^circ}} cdot cos{angle ABO}}$
$BD approx 103.6$
Теперь можем найти периметр четырехугольника:
$P = AB + BC + CD + BD approx 52 + 52 + 52 + 103.6 approx 259.6$
Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен примерно 259.6 см.
