Вопрос школьника
Углы A и D четырехугольника ABCD – прямые и AB = CD. Докажите, что этот четырехугольник – прямоугольник.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его углы B и C также являются прямыми.
Из условия задачи известно, что углы A и D являются прямыми, а также что AB = CD. Рассмотрим треугольники ABD и CDA.
В этих треугольниках две стороны равны (AB = CD) и углы при них прямые (углы A и D). Поэтому эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников SSS).
Отсюда следует, что угол B равен углу C (так как они дополнительны к углам A и D соответственно). Также из равенства треугольников ABD и CDA следует, что сторона BD равна стороне AC.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нем две стороны равны (AB = CD) и углы при них равны (углы B и C). Поэтому этот треугольник равнобедренный.
Из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол A равен углу D (так как они дополнительны к углам B и C соответственно).
Таким образом, мы доказали, что углы B и C являются прямыми, а стороны AB и CD равны. Поэтому четырехугольник ABCD является прямоугольником.
