Вопрос школьника
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности в треугольнике:
$$R = frac{abc}{4S},$$
где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
$$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$
где $p$ — полупериметр треугольника, равный $p = frac{a+b+c}{2}$.
Таким образом, нам нужно найти сторону $BC$ треугольника $ABC$. Для этого воспользуемся теоремой синусов:
$$frac{BC}{sin A} = frac{AB}{sin C} = frac{AC}{sin B},$$
где $A$, $B$, $C$ — углы треугольника $ABC$.
Заметим, что угол $A$ можно найти, используя тот факт, что сумма углов треугольника равна $180^circ$:
$$A = 180^circ — B — C = 30^circ.$$
Теперь можем найти сторону $BC$:
$$BC = frac{AB sin C}{sin A} = frac{AC sin B}{sin A}.$$
Подставим известные значения:
$$BC = frac{2R sin 85^circ}{sin 30^circ} = frac{2 cdot 14 cdot sin 85^circ}{sin 30^circ} approx 49.6.$$
Ответ: $BC approx 49.6$.
