Вопрос школьника
Угол B — меньший из углов треугольника ABC со сторонами 16 см, 20 см и 24 см. Биссектрисы угла B и внешнего угла с вершиной B пересекают прямую AC в точках D и E. Найдите DE.
Ответ от учителя
Для начала найдем угол B с помощью теоремы косинусов:
$24^2 = 16^2 + 20^2 — 2 cdot 16 cdot 20 cdot cos B$
$576 = 736 — 640 cdot cos B$
$640 cdot cos B = 160$
$cos B = frac{1}{4}$
$B = arccos frac{1}{4} approx 75.5^circ$
Теперь найдем угол между биссектрисами угла B и внешнего угла с вершиной B. Он равен половине разности углов, на которые эти биссектрисы делят угол B:
$frac{1}{2} cdot (180^circ — frac{B}{2} — 180^circ + frac{3B}{2}) = frac{B}{2} = 37.75^circ$
Заметим, что треугольник ABE является прямоугольным, так как угол B является внешним углом треугольника ABC с вершиной B. Тогда угол AEB равен $90^circ — frac{B}{2} = 52.25^circ$.
Теперь мы можем найти длину отрезка DE с помощью теоремы синусов в треугольнике AEB:
$frac{DE}{sin AEB} = frac{AE}{sin B} = frac{AB}{sin A}$
$DE = frac{AE cdot sin AEB cdot sin A}{sin B} = frac{16 cdot sin 52.25^circ cdot sin 22.25^circ}{sin 75.5^circ} approx 7.8$ см.
Ответ: $DE approx 7.8$ см.
