Вопрос школьника
Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 60°. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 2√3 см. Вычислите объем пирамиды.
Ответ от учителя
Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, а высота пирамиды равна h. Тогда, используя теорему Пифагора для боковой грани, получаем:
a^2 = (h/2)^2 + (r)^2, где r — радиус описанной окружности.
Также, зная, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°, можем записать:
tan(60°) = (h/2)/r
Отсюда находим h:
h = 4r/√3
Подставляем найденное значение h в первое уравнение и находим a:
a = 4r/√3
Теперь можем вычислить объем пирамиды:
V = (1/3) * S * h, где S — площадь основания.
Площадь основания равна:
S = (√3/4) * a^2 = 3√3 * r^2
Подставляем найденные значения и получаем:
V = (1/3) * 3√3 * r^2 * 4r/√3 = 4r^3
Итак, объем пирамиды равен 4r^3 кубических сантиметров. Подставляя значение радиуса описанной окружности, получаем:
V = 4 * (2√3)^3 = 192 кубических сантиметра.
