Вопрос школьника
Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°. Вычислите объем конуса, если площадь его боковой поверхности равна 6п см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся формулы для объема и боковой поверхности конуса:
V = (1/3)πr^2h
Sб = πrl
где V — объем конуса, Sб — площадь боковой поверхности, r — радиус основания, h — высота, l — образующая.
Из условия задачи известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен 60°. Это означает, что треугольник, образованный радиусом основания, образующей и высотой, является прямоугольным с углом 60°. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты и образующей:
sin 60° = l / r
cos 60° = h / r
Отсюда получаем:
l = r√3
h = r/2
Теперь мы можем выразить радиус через площадь боковой поверхности:
Sб = πrl = πr(r√3) = 6π
r^2 = 6/√3
r = 2√2/√3
Теперь можем вычислить объем:
V = (1/3)πr^2h = (1/3)π(6/√3)(2√2/√3)(1/2) = 4π/√3
Ответ: объем конуса равен 4π/√3.
