Вопрос школьника
Угол, вертикальный до угла при вершине равнобедренного треугольника, равна 68 °. Найдите угол между боковой стороной треугольника и медианой, проведенной к основанию
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно вспомнить некоторые свойства равнобедренного треугольника.
Первое свойство: в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.
Второе свойство: в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине делит основание на две равные части.
Из первого свойства следует, что медиана, проведенная к основанию, делит основание на две равные части. Пусть эти части равны x.
Из второго свойства следует, что угол между боковой стороной и медианой равен половине угла при вершине. Так как угол при вершине равнобедренного треугольника равен 68°, то угол между боковой стороной и медианой равен 34°.
Теперь нам нужно найти угол между медианой и основанием треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABD, где A и B — вершины треугольника, а D — точка пересечения медианы и основания.
AB^2 = AD^2 + BD^2 — 2AD*BD*cos(ADB)
Так как треугольник равнобедренный, то AD = BD = x. Угол ADB равен 68°/2 = 34°.
AB^2 = 2x^2 — 2x^2*cos(34°)
AB^2 = 2x^2(1 — cos(34°))
AB = sqrt(2x^2(1 — cos(34°)))
AB = x*sqrt(2(1 — cos(34°)))
Теперь мы можем найти угол между медианой и основанием, используя теорему косинусов для треугольника ABD:
cos(ADB) = (AD^2 + BD^2 — AB^2)/(2AD*BD)
cos(ADB) = (x^2 + x^2 — 2x^2(1 — cos(34°)))/(2x^2)
cos(ADB) = (2x^2cos(34°) — x^2)/(2x^2)
cos(ADB) = cos(34°)/2 — 1/2
ADB = arccos(cos(34°)/2 — 1/2)
ADB = 90° — arccos(cos(34°)/2)
ADB ≈ 56.5°
Ответ: угол между боковой стороной и медианой равен 34°, угол между медианой и основанием равен примерно 56.5°.
