Вопрос школьника
Упростите выражения:
а) 1 — cos2 a;
б) (1 + sin а)(1 — sin а);
в) sin2 а + cos2 а — 1;
г) sin2 а + ctg2 а • sin2 а.
Ответ от учителя
а) 1 — cos2 a = sin2 a. Это следует из тригонометрического тождества sin2 a + cos2 a = 1, которое можно переписать как cos2 a = 1 — sin2 a.
б) (1 + sin а)(1 — sin а) = 1 — sin2 a. Это также следует из формулы (a + b)(a — b) = a2 — b2, если заменить a на 1 и b на sin a.
в) sin2 а + cos2 а — 1 = 0. Это тождество также следует из формулы sin2 a + cos2 a = 1, если вычесть из обеих частей 1.
г) sin2 а + ctg2 а • sin2 а = sin2 a(1 + ctg2 a) = sin2 a(1 + cos2 a/sin2 a) = sin2 a + cos2 a = 1. Здесь мы использовали определение ctg a как 1/tg a и тригонометрическое тождество cos2 a = 1 — sin2 a.
