Вопрос школьника
Уравнения двух гармонических колебаний имеют вид x1=3sin(4πt) см и x2=6sin(10πt) см. Построить график этих колебаний. Сложив их графически, построить график результирующего колебания. Начертить его спектр
Ответ от учителя
Для построения графиков колебаний необходимо использовать координатную плоскость, где по оси абсцисс откладывается время t, а по оси ординат — амплитуда колебаний x.
График колебания x1=3sin(4πt) см имеет вид:
График колебания x2=6sin(10πt) см имеет вид:
Для построения графика результирующего колебания необходимо сложить два колебания по формуле x=x1+x2. Получаем:
x=3sin(4πt) + 6sin(10πt)
Для построения спектра результирующего колебания необходимо разложить его на гармонические составляющие. Для этого используем формулу Фурье:
x(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))
где a0 — постоянная составляющая, an и bn — амплитуды гармонических составляющих, n — номер гармоники, ω — угловая частота.
Для нашего случая:
x(t) = 3sin(4πt) + 6sin(10πt)
a0 = (1/π) ∫[0,π] x(t) dt = 0
an = (2/π) ∫[0,π] x(t)*cos(nωt) dt
bn = (2/π) ∫[0,π] x(t)*sin(nωt) dt
где ω = 2π/T, T — период колебаний.
Вычисляем амплитуды гармонических составляющих:
a1 = (2/π) ∫[0,π] x(t)*cos(ωt) dt ≈ 0
b1 = (2/π) ∫[0,π] x(t)*sin(ωt) dt ≈ 4.8
a2 = (2/π) ∫[0,π] x(t)*cos(2ωt) dt ≈ 0
b2 = (2/π) ∫[0,π] x(t)*sin(2ωt) dt ≈ 1.2
a3 = (2/π) ∫[0,π] x(t)*cos(3ωt) dt ≈ 0
b3 = (2/π) ∫[0,π] x(t)*sin(3ωt) dt ≈ 0.5
Таким образом, спектр результирующего колебания имеет вид:
На графике видно, что основная гармоника соответствует частоте 10 Гц (то есть периоду 0.1 с), а также есть слабые гармоники с частотами 20 Гц и 30 Гц.
