Вопрос школьника
В 6 «В» классе учится 28 школьников. На родительское собрание пришли 24 мамы и 18 пап. Зная, что на собрание пришли родители всех учеников, определите, у скольких учеников на собрание пришли оба родителя.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулой включений-исключений.
Обозначим через $A_i$ событие, что на собрание пришел ровно $i$ родитель ученика. Тогда число учеников, на собрание пришедших с обоими родителями, равно $|A_2|$.
Заметим, что $|A_1|$ равно числу учеников, на собрание пришедших только с мамой или только с папой. По условию, на собрание пришло $24$ мамы и $18$ пап, но некоторые из них могут быть родителями одного и того же ученика. Чтобы избежать повторений, нужно вычесть из суммы $24+18=42$ число учеников, на собрание пришедших с одним из родителей. Таким образом, $|A_1|=42-28=14$.
Чтобы найти $|A_0|$, нужно вычислить число учеников, на собрание не пришедших ни с одним из родителей. Оно равно $28-(24+18)+|A_2|=6+|A_2|$.
Осталось найти вероятность каждого из событий $A_i$. Вероятность того, что на собрание придет ровно $i$ родитель ученика, равна отношению числа способов выбрать $i$ родителей из $2$ к числу способов выбрать родителя любого ученика:
$$P(A_i) = frac{binom{24}{i}binom{18}{2-i}}{binom{42}{2}}$$
Теперь можем применить формулу включений-исключений:
$$|A_2| = binom{28}{2} — |A_0| — |A_1| = binom{28}{2} — (6+|A_2|) — 14 — sum_{i=3}^{4} (-1)^i binom{28}{i}frac{binom{24}{2-i}binom{18}{i}}{binom{42}{2}}$$
Решая это уравнение относительно $|A_2|$, получаем:
$$|A_2| = frac{binom{28}{2}binom{24}{16}binom{18}{6}}{binom{42}{2}binom{26}{10}} = 84$$
Таким образом, на собрание пришли оба родителя у $84$ учеников.
