Вопрос школьника
В большую окружность сферы вписана равнобедренная трапеция ABCD, основание которой AD является диаметром большой окружности. Вычислите площадь сферы, если BAD = 60°, АВ = 2 см.
Ответ от учителя
Пусть O — центр большой окружности, а M — середина BC. Тогда OM является высотой трапеции ABCD, а также радиусом вписанной сферы.
Так как BAD = 60°, то угол BOC = 120°. Также, так как AM является медианой треугольника ABC, то AM является высотой и биссектрисой угла BAC. Значит, угол BAC = 2 * угол BMA = 2 * угол BMO.
Так как треугольник BMO является прямоугольным, то sin(угла BMO) = OM / BM. Также, так как треугольник BAC является равнобедренным, то sin(угла BAC) = AC / (2 * AB) = AC. Значит, OM / BM = sin(угла BMO) = sin(угла BAC / 2) = sin(30°) = 1/2.
Так как треугольник BMO является прямоугольным, то BM = BC / 2 = AB = 2 см. Значит, OM = BM / 2 = 1 см.
Таким образом, радиус вписанной сферы равен 1 см, а её площадь равна 4π см².
Чтобы найти площадь сферы, нужно возвести радиус в квадрат и умножить на число π: S = r²π = 1²π = π см². Ответ: площадь сферы равна π см².
