Вопрос школьника
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем OA = OB = OC = OD. Докажите, что четырехугольник ABCD – прямоугольник.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его углы прямые.
Рассмотрим треугольники AOB и COD. Так как OA = OB и OC = OD, то эти треугольники равнобедренные. Также, так как AC и BD являются диагоналями четырехугольника ABCD, то точка O является центром его описанной окружности. Следовательно, углы AOC и BOD равны, так как они соответственные углы при равных дугах.
Таким образом, получаем, что углы AOB, BOC, COD и AOD равны между собой и составляют по 90 градусов. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.
