Вопрос школьника
В четырехугольнике ABCD отрезок BD проходит через середину отрезка AC и AD || BC. Докажите, что AB = CD.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ABD и BCD. По условию, BD проходит через середину отрезка AC, то есть точка M, и AD || BC. Значит, угол ABD равен углу BCD (они соответственные). Также, угол ADB равен углу BDC (они вертикальные). Значит, треугольники ABD и BCD подобны по двум углам.
Так как BD является медианой треугольника ABC, то она делит его на два треугольника, которые равны по площади. Значит, площадь треугольника ABD равна площади треугольника BCD.
Пусть AB = a, BD = b, CD = c. Тогда площадь треугольника ABD равна (b * h1) / 2, где h1 — высота, опущенная на сторону AB. Аналогично, площадь треугольника BCD равна (b * h2) / 2, где h2 — высота, опущенная на сторону CD.
Так как треугольники ABD и BCD подобны, то отношение высот h1 и h2 равно отношению соответствующих сторон, то есть h1 / h2 = a / c.
Из равенства площадей треугольников ABD и BCD получаем:
(b * h1) / 2 = (b * h2) / 2
h1 = h2
Тогда a / c = h1 / h2 = 1, что означает, что AB = CD.
Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике ABCD, где BD проходит через середину отрезка AC и AD || BC, стороны AB и CD равны.
