Вопрос школьника
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что СD=BC+AD.
Ответ от учителя
Рассмотрим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Пусть точка пересечения биссектрис углов А и В лежит на стороне CD в точке E.
Так как точка E лежит на биссектрисе угла А, то угол AED равен половине угла А. Аналогично, угол BEC равен половине угла В.
Так как угол A и угол В являются смежными углами, то их сумма равна 180 градусов. Следовательно, угол AED + угол BEC = 180 градусов.
Так как точка E лежит на стороне CD, то угол CED является внутренним углом четырехугольника ABCD. Следовательно, угол CED + угол AEB = 180 градусов.
Таким образом, мы получили систему уравнений:
угол AED + угол BEC = 180 градусов
угол CED + угол AEB = 180 градусов
Сложим эти уравнения и получим:
угол AED + угол BEC + угол CED + угол AEB = 360 градусов
Так как угол AEB является внешним углом треугольника CED, то он равен сумме углов CED и BCD. Следовательно, угол AEB = угол CED + угол BCD.
Подставим это равенство в предыдущее уравнение и получим:
угол AED + угол BEC + угол CED + угол CED + угол BCD = 360 градусов
Упростим выражение:
2 угол CED + угол BCD + угол AED + угол BEC = 360 градусов
Так как угол BCD и угол AED являются смежными углами, то их сумма равна углу BAC. Аналогично, угол BEC и угол CED являются смежными углами, и их сумма равна углу BDC.
Подставим эти равенства в предыдущее уравнение и получим:
2 угол CED + угол BAC + угол BDC = 360 градусов
Так как угол BAC и угол BDC являются противоположными углами четырехугольника ABCD, то они равны. Следовательно, угол BAC = угол BDC = 180 градусов / 2 = 90 градусов.
Таким образом, мы получили, что угол CED равен 180 градусов — углу BAC = 90 градусов. Следовательно, треугольник CED является прямоугольным.
Так как четырехугольник ABCD вписанный в окружность, то его противоположные углы суммируются до 180 градусов. Следовательно, угол ACD равен 180 градусов — углу BCD.
Так как угол BCD равен углу BAC, то угол ACD равен 180 градусов — углу BAC = 90 градусов.
Таким образом, мы получили, что треугольник ACD является прямоугольным.
Теперь рассмотрим отрезки BC и AD. Они являются хордами окружности, проходящими через точку пересечения биссектрис углов А и В. Следовательно, они равны между собой.
Таким образом, мы получили, что CD = BC + AD, что и требовалось доказать.
