Вопрос школьника
В четырёхугольнике ABCD точка Е— середина АВ, F— середина CD. Докажите, что середины отрезков AF, СЕ, BF, DE являются вершинами параллелограмма.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нужно воспользоваться свойствами параллелограмма.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны между собой.
Рассмотрим отрезки AF и CE. Так как Е и F — середины сторон АВ и CD соответственно, то отрезки AF и CE пересекаются в точке G, которая является серединой отрезка ГЕ.
Также рассмотрим отрезки BF и DE. Они также пересекаются в точке G, которая является серединой отрезка BG.
Таким образом, мы получили, что точка G является серединой отрезков ГЕ и BG.
Теперь докажем, что отрезки ГЕ и BG параллельны.
Рассмотрим треугольники АЕС и DFB. Они равнобедренные, так как Е и F — середины соответствующих сторон.
Значит, у них равны основания АС и DF, а также углы при вершине С и В соответственно.
Отсюда следует, что углы САЕ и ВDF равны между собой.
Также мы знаем, что углы САЕ и ВDF являются вертикальными, так как стороны АВ и CD параллельны.
Значит, углы САЕ и ВDF равны и вертикальны, что означает, что отрезки ГЕ и BG параллельны.
Таким образом, мы доказали, что точки, являющиеся серединами отрезков AF, CE, BF и DE, образуют параллелограмм.
