Вопрос школьника
В четырёхугольнике CDEF, в который можно вписать окружность, CD = 6 см, DE — 8 см, EF = 12 см. Найдите сторону CF.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством четырёхугольника, в который можно вписать окружность: сумма противоположных сторон равна. Также воспользуемся формулой для вычисления радиуса вписанной окружности в четырёхугольник:
$r = sqrt{frac{(p — AB)(p — BC)(p — CD)(p — DA)}{p}}$
где $p$ — полупериметр четырёхугольника, $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ — стороны четырёхугольника.
Из условия задачи известны стороны $CD = 6$ см, $DE = 8$ см и $EF = 12$ см. Найдём сторону $CF$:
$CF = CD + DE + EF = 6 + 8 + 12 = 26$ см
Теперь найдём радиус вписанной окружности. Для этого вычислим полупериметр четырёхугольника:
$p = frac{CD + DE + EF + CF}{2} = frac{6 + 8 + 12 + 26}{2} = 26$
Подставим известные значения в формулу для радиуса вписанной окружности:
$r = sqrt{frac{(26 — 6)(26 — 8)(26 — 12)(26 — 26)}{26}} = sqrt{10 cdot 18 cdot 14 cdot 0} = 0$
Так как радиус вписанной окружности равен нулю, то четырёхугольник CDEF является вписанным в окружность с бесконечно большим радиусом. Это означает, что стороны четырёхугольника лежат на одной окружности, и сумма противоположных сторон равна:
$CD + EF = DE + CF$
Подставим известные значения:
$6 + 12 = 8 + CF$
$CF = 10$ см
Ответ: сторона $CF$ равна 10 см.
