Вопрос школьника
В цилиндр вписана правильная n-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n=3; б) n= 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n— произвольное натуральное число.
Ответ от учителя
а) При n=3 вписанная призма является правильной треугольной призмой. Рассмотрим высоту призмы, которая равна радиусу вписанного в цилиндр правильного треугольника. По теореме Пифагора, высота равна r√3, где r — радиус цилиндра. Тогда объем призмы равен (1/2) * a * r√3 * r, где a — длина стороны треугольника. Для правильного треугольника a = 2r√3/3. Подставляя значения, получаем Vпризмы = (4/3) * r^3 * √3, а Vцилиндра = πr^2 * 2r = 2πr^3. Отношение объемов равно Vпризмы/Vцилиндра = (2√3)/(3π).
б) При n=4 вписанная призма является правильной четырехугольной призмой. Рассмотрим высоту призмы, которая равна радиусу вписанного в цилиндр квадрата. Высота равна r, где r — радиус цилиндра. Тогда объем призмы равен a * r * r, где a — длина стороны квадрата. Для правильного квадрата a = 2r. Подставляя значения, получаем Vпризмы = 2r^3, а Vцилиндра = πr^2 * 2r = 2πr^3. Отношение объемов равно Vпризмы/Vцилиндра = 1/π.
в) При n=6 вписанная призма является правильной шестиугольной призмой. Рассмотрим высоту призмы, которая равна радиусу вписанного в цилиндр правильного шестиугольника. По теореме Пифагора, высота равна r√3, где r — радиус цилиндра. Тогда объем призмы равен (3/2) * a * r√3 * r, где a — длина стороны шестиугольника. Для правильного шестиугольника a = 2r. Подставляя значения, получаем Vпризмы = 3r^3√3, а Vцилиндра = πr^2 * 2r = 2πr^3. Отношение объемов равно Vпризмы/Vцилиндра = (3√3)/(4π).
г) При n=8 вписанная призма является правильной восьмиугольной призмой. Рассмотрим высоту призмы, которая равна радиусу вписанного в цилиндр правильного восьмиугольника. По теореме Пифагора, высота равна r(1+√2), где r — радиус цилиндра. Тогда объем призмы равен 2a * r * r(1+√2), где a — длина стороны восьмиугольника. Для правильного восьмиугольника a = 2r√(2+√2). Подставляя значения, получаем Vпризмы = 4r^3(2+√2), а Vцилиндра = πr^2 * 2r = 2πr^3. Отношение объемов равно Vпризмы/Vцилиндра = (2+√2)/(π).
д) При произвольном n вписанная призма является правильной n-угольной призмой. Рассмотрим высоту призмы, которая равна радиусу вписанного в цилиндр правильного n-угольника. По теореме Пифагора, высота равна r * cot(π/n), где r — радиус цилиндра. Тогда объем призмы равен (1/2) * a * r * r * cot(π/n), где a — длина стороны n-угольника. Для правильного n-угольника a = 2r * sin(π/n). Подставляя значения, получаем Vпризмы = r^3 * n * cot(π/n) * sin(π/n), а Vцилиндра = πr^2 * 2r = 2πr^3. Отношение объемов равно Vпризмы/Vцилиндра = (n * cot(π/n) * sin(π/n))/(3π).
