Вопрос школьника
В цилиндре под поршнем находится газ при давлении 1,5 • 105 Па и температуре 27 °С. Груз какой массы нужно положить на поршень после его нагревания до температуры 77 °С, чтобы объём газа не изменился? Площадь поперечного сечения поршня 20 см2.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при неизменной массе газа его давление обратно пропорционально объему при постоянной температуре. Также необходимо использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что при неизменном объеме газа его давление прямо пропорционально температуре.
Из условия задачи известно, что начальное давление газа равно 1,5 • 105 Па, а начальная температура равна 27 °С. Также известно, что площадь поперечного сечения поршня равна 20 см2.
Для того чтобы объем газа не изменился, необходимо, чтобы давление газа оставалось неизменным. Из закона Бойля-Мариотта следует, что давление газа обратно пропорционально объему. Таким образом, если объем газа не должен изменяться, то его давление также не должно изменяться.
Из закона Гей-Люссака следует, что при изменении температуры давление газа также изменяется. Для того чтобы давление газа оставалось неизменным, необходимо изменить массу груза на поршне таким образом, чтобы изменение давления газа, вызванное изменением температуры, было компенсировано изменением давления, вызванным изменением массы груза.
Для расчета массы груза необходимо использовать уравнение состояния идеального газа:
pV = nRT,
где p — давление газа, V — его объем, n — количество вещества газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура газа.
Из этого уравнения можно выразить количество вещества газа:
n = pV / RT.
Так как объем газа не должен изменяться, то можно записать:
n1 = n2,
где n1 — количество вещества газа при начальной температуре, n2 — количество вещества газа при конечной температуре.
Из уравнения состояния идеального газа можно выразить начальное количество вещества газа:
n1 = p1V / RT1,
где p1 — начальное давление газа, V — его объем, R — универсальная газовая постоянная, T1 — начальная температура газа.
Аналогично, можно выразить конечное количество вещества газа:
n2 = p2V / RT2,
где p2 — конечное давление газа, V — его объем, R — универсальная газовая постоянная, T2 — конечная температура газа.
Так как количество вещества газа не должно изменяться, то можно записать:
p1V / RT1 = p2V / RT2.
Из этого уравнения можно выразить конечное давление газа:
p2 = p1T2 / T1.
Таким образом, для того чтобы давление газа оставалось неизменным при изменении температуры, необходимо изменить массу груза на поршне таким образом, чтобы изменение давления газа, вызванное изменением температуры, было компенсировано изменением давления, вызванным изменением массы груза.
Из закона Гей-Люссака следует, что при изменении температуры давление газа прямо пропорционально температуре. Таким образом, для того чтобы изменить давление газа на определенную величину, необходимо изменить температуру на ту же величину.
Из условия задачи известно, что температура газа должна измениться на 50 °С (от 27 °С до 77 °С). Таким образом, для того чтобы изменить давление газа на такую же величину, необходимо изменить массу груза на поршне таким образом, чтобы его давление увеличилось на величину, равную начальному давлению, умноженному на отношение изменения температуры к начальной температуре:
Δp = p1 * ΔT / T1 = 1,5 • 105 * 50 / 300 = 2,5 • 104 Па.
Для того чтобы увеличить давление газа на 2,5 • 104 Па, необходимо на поршень положить груз массой:
m = Δp * S / g = 2,5 • 104 * 0,002 / 9,81 = 5,1 кг.
Таким образом, для того чтобы объем газа не изменился при изменении температуры от 27 °С до 77 °С, необходимо на поршень положить груз массой 5,1 кг.
