Вопрос школьника
В цилиндре под поршнем со скошенной нижней частью, обладающего массой m = 6 кг находится при нормальном атмосферном давлении воздух. Площадь сечения цилиндра s0 = 2*10^-3 м2. Груз какой массы М необходимо положить на поршень, чтобы газ под ним изотермически сжать в два раза? Трение отсутствует.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре объем газа обратно пропорционален давлению:
p1V1 = p2V2
где p1 и V1 — начальное давление и объем газа, p2 и V2 — конечное давление и объем газа.
Также необходимо использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что при постоянном давлении объем газа пропорционален температуре:
V1/T1 = V2/T2
где T1 и V1 — начальная температура и объем газа, T2 и V2 — конечная температура и объем газа.
Из условия задачи известно, что газ необходимо сжать в два раза, то есть конечный объем газа будет равен начальному объему, умноженному на 0,5:
V2 = 0,5V1
Также известно, что трение отсутствует, поэтому работа, совершаемая при сжатии газа, будет равна изменению его потенциальной энергии:
A = ΔU = Q — W
где ΔU — изменение внутренней энергии газа, Q — теплота, переданная газу, W — работа, совершаемая над газом.
Так как процесс изотермический, то изменение внутренней энергии газа равно нулю, а теплота, переданная газу, равна работе, совершаемой над газом:
Q = W
Таким образом, для нахождения работы, совершаемой при сжатии газа, необходимо найти разность давлений на поршне до и после сжатия газа:
p1 — p2 = F/M
где F — сила, действующая на поршень, M — масса груза.
Так как площадь сечения цилиндра известна, то можно выразить силу через давление:
F = p1s0
Таким образом,
p1 — p2 = p1s0/M
Из закона Бойля-Мариотта известно, что
p2 = 2p1
Подставляя это выражение в предыдущее, получаем:
p1 — 2p1 = p1s0/M
p1 = p0, где p0 — нормальное атмосферное давление.
Таким образом,
p0 = 3p1s0/M
Из закона Гей-Люссака известно, что
V1/T1 = V2/T2
Так как процесс изотермический, то начальная и конечная температуры газа равны, поэтому можно записать:
V1 = 2V2
V1 = 2(0,5V1) = V1
Таким образом,
p0V1 = 3p1s0
p0V1 = 3p0s0/M
M = 3p0s0V1/p1
Подставляя известные значения, получаем:
M = 3 * 1,013 * 10^5 * 2 * 10^-3 * 2 * 10^-3 / (6 * 2 * 1,013 * 10^5) = 0,002 массы груза
Ответ: для того чтобы газ под поршнем со скошенной нижней частью, обладающего массой m = 6 кг, изотермически сжался в два раза, необходимо положить на поршень груз массой М = 0,002 кг.
