Вопрос школьника
В цилиндре под тяжелым поршнем находится углекислый газ (M=0,044 кг/моль) массой m=0,20 кг. Газ нагревается на ΔT=88 К. Какую работу он при этом совершает?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо знать уравнение состояния идеального газа:
pV = nRT,
где p – давление газа, V – его объем, n – количество вещества (в молях), R – универсальная газовая постоянная, T – температура газа в кельвинах.
Из условия задачи известны масса газа m и его молярная масса M. Найдем количество вещества n:
n = m/M = 0,20 кг / 0,044 кг/моль = 4,55 моль.
Также известна разность температур ΔT = 88 К. Пусть начальная температура газа равна T1, а конечная – T2. Тогда:
T2 = T1 + ΔT.
Для идеального газа работа при изотермическом процессе (т.е. при постоянной температуре) вычисляется по формуле:
A = nRT ln(V2/V1),
где V1 и V2 – объемы газа в начале и в конце процесса соответственно.
В нашем случае процесс не является изотермическим, поэтому нужно использовать другую формулу для вычисления работы. Для идеального газа работа при изобарном процессе (т.е. при постоянном давлении) вычисляется по формуле:
A = p(V2 — V1),
где p – давление газа, V1 и V2 – объемы газа в начале и в конце процесса соответственно.
Давление газа можно найти из уравнения состояния идеального газа:
pV = nRT,
p = nRT/V.
Объем газа можно найти, зная его плотность:
ρ = m/V,
V = m/ρ.
Плотность углекислого газа при нормальных условиях (т.е. при давлении 1 атмосфера и температуре 0 °C) равна 1,98 кг/м³. При других условиях плотность можно найти по уравнению состояния идеального газа:
pV = m/M RT,
ρ = pM/RT.
Таким образом, объем газа в начале процесса равен:
V1 = m/ρ1 = 0,20 кг / 1,98 кг/м³ = 0,101 м³.
Объем газа в конце процесса можно найти из уравнения состояния идеального газа:
pV2 = nRT2,
V2 = nRT2/p.
Давление газа можно найти из уравнения состояния идеального газа при начальных условиях:
pV1 = nRT1,
p = nRT1/V1.
Тогда:
V2 = nRT2/(nRT1/V1) = V1(T2/T1) = 0,101 м³ * (273 К + 88 К) / 273 К = 0,138 м³.
Давление газа при начальных условиях:
p1 = nRT1/V1 = 4,55 моль * 8,31 Дж/(моль*К) * 273 К / 0,101 м³ = 98,5 кПа.
Давление газа при конечных условиях:
p2 = nRT2/V2 = 4,55 моль * 8,31 Дж/(моль*К) * (273 К + 88 К) / 0,138 м³ = 152,5 кПа.
Теперь можно вычислить работу газа:
A = p(V2 — V1) = (p2 + p1)/2 * (V2 — V1) = 125,5 кПа * (0,138 м³ — 0,101 м³) = 4,6 кДж.
Ответ: газ совершает работу 4,6 кДж.
