Вопрос школьника
В цилиндре, у которого высота равна диаметру основания и равна d, надо разместить два одинаковых шара. Каков их наибольший радиус?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать геометрические соображения и формулы для объема цилиндра и шара.
Объем цилиндра можно вычислить по формуле:
V = πr²h,
где V — объем цилиндра, r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Так как высота цилиндра равна диаметру основания и равна d, то можно записать:
h = d,
r = d/2.
Тогда формула для объема цилиндра примет вид:
V = π(d/2)²d = πd³/4.
Объем шара можно вычислить по формуле:
V = (4/3)πr³,
где V — объем шара, r — радиус шара.
Так как нам нужно разместить два одинаковых шара в цилиндре, то можно записать:
2V = (4/3)πr³,
V = (2/3)πr³.
Теперь можно выразить радиус шара через объем цилиндра:
r = (3V/2π)^(1/3).
Подставляя значение объема цилиндра, получаем:
r = (3πd³/16π)^(1/3) = (3d³/16)^(1/3).
Таким образом, наибольший радиус шара, который можно разместить в цилиндре высотой d и диаметром основания d, равен (3d³/16)^(1/3).
