Вопрос школьника
В цилиндрическом сосуде уровень воды первоначально находится на высоте h = 0,2 м. Когда в сосуд пустили плавать пустой стеклянный стакан с плотностью стела ρ = 2,5⋅103 кг/м3, уровень воды поднялся на Δh = 0,02 м. На какой высоте h1 будет располагаться уровень воды в сосуде, если стакан утопить?
Ответ от учителя
При плавании стакана в воде он вытесняет объем жидкости, равный своему объему. Так как стакан пустой, то его объем равен V = 0, а значит, он вытесняет некоторый объем воды, который равен его объему. Обозначим этот объем через Vст.
Так как плотность стекла больше плотности воды, то стакан будет тонуть, когда его вес станет больше силы Архимеда, действующей на него со стороны воды. Сила Архимеда равна весу вытесненной стаканом воды, то есть:
Fарх = ρвгVст,
где ρв – плотность воды, g – ускорение свободного падения.
Вес стакана равен его массе, умноженной на ускорение свободного падения:
Fвес = mg,
где m – масса стакана.
Когда стакан утонет, сила Архимеда будет равна его весу:
Fарх = Fвес,
ρвгVст = mg.
Выразим массу стакана:
m = ρстVст,
где ρст – плотность стекла.
Подставим это выражение в равенство для силы Архимеда:
ρвгVст = ρстVстg,
откуда
Vст = Vст(ρст/ρв).
Таким образом, объем воды, вытесненный стаканом, равен его объему, умноженному на отношение плотности стекла к плотности воды.
Когда стакан утонет, он будет вытеснять объем воды, равный его объему, то есть ΔV = Vст(ρст/ρв). Этот объем будет занимать некоторую высоту в сосуде, которую можно найти, зная площадь основания сосуда и высоту, на которую поднимется уровень воды при вытеснении объема ΔV.
Площадь основания сосуда можно найти, зная его радиус R:
Sосн = πR2.
Высота, на которую поднимется уровень воды при вытеснении объема ΔV, равна:
Δh = ΔV/Sосн.
Подставляя значения, получаем:
Δh = Vст(ρст/ρв)/πR2.
Так как при плавании стакана уровень воды поднялся на Δh = 0,02 м, то при его утоплении уровень воды поднимется на:
h1 = h + Δh = 0,2 м + Vст(ρст/ρв)/πR2.
Подставляя числовые значения, получаем:
h1 = 0,2 м + 0,0008 м = 0,2008 м.
Ответ: уровень воды в сосуде будет располагаться на высоте h1 = 0,2008 м.
