Вопрос школьника
В футбольном турнире с 20 командами сыграно 8 туров: каждая команда сыграла с восемью другими. Докажите, что есть 3 команды, которые пока что не сыграли между собой ни одного матча.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся принципом Дирихле.
Предположим, что все команды уже сыграли между собой хотя бы один матч. Тогда каждая команда сыграла 8 матчей, а значит, всего было сыграно 20*8=160 матчей.
Однако, каждый матч участвует две команды, поэтому общее количество матчей равно 160/2=80.
Таким образом, мы получили противоречие: если каждая команда сыграла хотя бы один матч, то общее количество матчей должно быть равно 80, но мы уже знаем, что было сыграно 160 матчей.
Следовательно, наше предположение неверно, и существуют три команды, которые пока что не сыграли между собой ни одного матча.
