Вопрос школьника
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Ответ от учителя
Пусть первый член геометрической прогрессии равен $a$, а знаменатель равен $q$. Тогда второй член равен $aq$, а третий член равен $aq^2$.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
$$begin{cases} a + aq = 75 \ aq + aq^2 = 150 end{cases}$$
Разделим второе уравнение на первое и получим:
$$frac{aq + aq^2}{a + aq} = frac{150}{75} = 2$$
Упрощая, получаем:
$$q + q^2 = 2q Rightarrow q^2 — q = 0 Rightarrow q(q-1) = 0$$
Отсюда следует, что либо $q=0$ (но это невозможно, так как знаменатель не может быть равен нулю), либо $q=1$.
Если $q=1$, то из первого уравнения получаем $2a=75$, то есть $a=37.5$. Тогда первые три члена прогрессии равны $37.5, 37.5, 37.5$.
Если $qneq 1$, то из первого уравнения получаем $a=frac{75}{1+q}$, а из второго уравнения получаем $aq(1+q)=150$. Подставляя первое выражение для $a$, получаем:
$$frac{75q}{1+q} cdot q(1+q) = 150 Rightarrow q^2 + q — 2 = 0 Rightarrow q_1 = 1, q_2 = -2$$
Так как знаменатель геометрической прогрессии не может быть отрицательным, то $q=1$. Тогда первые три члена прогрессии равны $37.5, 37.5, 37.5$.
Итак, первые три члена геометрической прогрессии равны $37.5, 37.5, 37.5$.
