Вопрос школьника
В городе 4 коммерческих банка, оценка надежности которых равны 0,8, 0,92, 0,95, 0,98 соответственно. Найти вероятность того, что в течение некоторого промежутка времени обанкротится хотя бы один.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться формулой полной вероятности.
Пусть событие А — обанкротится хотя бы один банк, а Bi — обанкротится i-ый банк. Тогда вероятность события А можно выразить следующим образом:
P(A) = P(B1) + P(B2) + P(B3) + P(B4) — P(B1B2) — P(B1B3) — P(B1B4) — P(B2B3) — P(B2B4) — P(B3B4) + P(B1B2B3) + P(B1B2B4) + P(B1B3B4) + P(B2B3B4) — P(B1B2B3B4)
где P(Bi) — вероятность обанкротиться i-го банка, P(BiBj) — вероятность обанкротиться одновременно i-го и j-го банков, P(BiBjBk) — вероятность обанкротиться одновременно i-го, j-го и k-го банков, P(B1B2B3B4) — вероятность обанкротиться одновременно всех банков.
Из условия задачи известны вероятности обанкротиться каждого банка:
P(B1) = 0,8
P(B2) = 0,92
P(B3) = 0,95
P(B4) = 0,98
Тогда вероятности обанкротиться двух банков можно вычислить следующим образом:
P(B1B2) = P(B1) * P(B2) = 0,8 * 0,92 = 0,736
P(B1B3) = P(B1) * P(B3) = 0,8 * 0,95 = 0,76
P(B1B4) = P(B1) * P(B4) = 0,8 * 0,98 = 0,784
P(B2B3) = P(B2) * P(B3) = 0,92 * 0,95 = 0,874
P(B2B4) = P(B2) * P(B4) = 0,92 * 0,98 = 0,9016
P(B3B4) = P(B3) * P(B4) = 0,95 * 0,98 = 0,931
Аналогично, вероятности обанкротиться трем и четырем банкам:
P(B1B2B3) = P(B1) * P(B2) * P(B3) = 0,8 * 0,92 * 0,95 = 0,6848
P(B1B2B4) = P(B1) * P(B2) * P(B4) = 0,8 * 0,92 * 0,98 = 0,6704
P(B1B3B4) = P(B1) * P(B3) * P(B4) = 0,8 * 0,95 * 0,98 = 0,744
P(B2B3B4) = P(B2) * P(B3) * P(B4) = 0,92 * 0,95 * 0,98 = 0,8536
И, наконец, вероятность обанкротиться всех банков:
P(B1B2B3B4) = P(B1) * P(B2) * P(B3) * P(B4) = 0,8 * 0,92 * 0,95 * 0,98 = 0,631328
Подставляя все значения в формулу полной вероятности, получаем:
P(A) = 0,8 + 0,92 + 0,95 + 0,98 — 0,736 — 0,76 — 0,784 — 0,874 — 0,9016 — 0,931 + 0,6848 + 0,6704 + 0,744 + 0,8536 — 0,631328 ≈ 0,999
Таким образом, вероятность того, что в течение некоторого промежутка времени обанкротится хотя бы один банк, составляет около 99,9%.
