Вопрос школьника
В хлопке 70 % длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 волокон не более 8 длинных?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать биномиальное распределение.
Пусть p — вероятность выбрать длинное волокно, тогда q = 1 — p — вероятность выбрать короткое волокно.
Из условия задачи известно, что p = 0,7 и q = 0,3.
Также известно, что нужно найти вероятность того, что среди 10 взятых наудачу волокон не более 8 длинных.
Для решения данной задачи необходимо найти вероятности того, что будет выбрано 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 длинных волокон из 10.
Формула для нахождения вероятности выбора k длинных волокон из n взятых наудачу волокон выглядит следующим образом:
P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — число сочетаний из n по k.
Таким образом, для нахождения искомой вероятности необходимо сложить вероятности выбора 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 длинных волокон:
P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8).
Вычислим каждую из вероятностей:
P(0) = C(10, 0) * 0,7^0 * 0,3^10 = 0,0282
P(1) = C(10, 1) * 0,7^1 * 0,3^9 = 0,1211
P(2) = C(10, 2) * 0,7^2 * 0,3^8 = 0,2335
P(3) = C(10, 3) * 0,7^3 * 0,3^7 = 0,2668
P(4) = C(10, 4) * 0,7^4 * 0,3^6 = 0,2001
P(5) = C(10, 5) * 0,7^5 * 0,3^5 = 0,1029
P(6) = C(10, 6) * 0,7^6 * 0,3^4 = 0,0368
P(7) = C(10, 7) * 0,7^7 * 0,3^3 = 0,0081
P(8) = C(10, 8) * 0,7^8 * 0,3^2 = 0,0011
Теперь сложим все вероятности:
P = 0,0282 + 0,1211 + 0,2335 + 0,2668 + 0,2001 + 0,1029 + 0,0368 + 0,0081 + 0,0011 = 1
Таким образом, вероятность того, что среди взятых наудачу 10 волокон не более 8 длинных, равна 1.
Это означает, что событие «среди взятых наудачу 10 волокон не более 8 длинных» является достоверным, то есть обязательно произойдет.
