Вопрос школьника
В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число рёбер равно 12? Нарисуйте эти многогранники.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой Эйлера для выпуклых многогранников:
V — E + F = 2,
где V — число вершин, E — число ребер, F — число граней.
Подставляя в эту формулу данные из условия (E = 12, каждая вершина имеет 4 ребра), получаем:
V — 12 + F = 2
V + F = 14
Так как каждая грань имеет как минимум три вершины, а каждая вершина имеет по четыре ребра, то можно записать еще одно уравнение:
3F ≤ 2E
3F ≤ 24
F ≤ 8
Таким образом, число граней не превышает 8.
Рассмотрим возможные варианты числа вершин и граней:
1) V = 4, F = 10. Такой многогранник называется додекаэдром.
2) V = 6, F = 8. Такой многогранник называется октаэдром.
3) V = 8, F = 6. Такой многогранник называется кубом.
4) V = 12, F = 2. Такой многогранник называется додекаэдром.
Таким образом, существует четыре возможных многогранника, удовлетворяющих условию.
Ниже приведены изображения этих многогранников:
1) Додекаэдр:
«`
/
/
/
/
/___/___
|| /
|| /
|| /
||/
/
«`
2) Октаэдр:
«`
/
/
/
/
/___/___
/ /
/ /
/ /
«`
3) Куб:
«`
/
/
/
/
/___/___
| || |
|___||___|
|| /
|| /
|| /
||/
/
«`
4) Икосаэдр:
«`
/
/
/
/
/___/___
/ /
/ /
/
/
/
«`
