Вопрос школьника
В каждом из 10 000 независимых испытаний вероятность успеха равна p = 0,75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,0001
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон больших чисел, который утверждает, что с увеличением числа испытаний относительная частота события стремится к его вероятности.
Таким образом, вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,0001, можно оценить с помощью неравенства Чебышева:
P(|X — μ| < ε) ≥ 1 - σ²/ε², где X - случайная величина, равная относительной частоте появления события, μ - ее математическое ожидание (равное вероятности события), σ² - ее дисперсия, ε - заданное отклонение. В данном случае X ~ Bin(10000, 0.75), т.е. имеет биномиальное распределение с параметрами n = 10000 и p = 0.75. Тогда μ = np = 7500, σ² = np(1-p) = 1875. Подставляя значения в неравенство Чебышева, получаем: P(|X - 7500| < 1) ≥ 1 - 1875/1² = 0.99947. Таким образом, вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,0001, равна не менее чем 0.99947.
