Вопрос школьника
В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А (2; 3), В (4;-5); б) А (-2; 4), В (3; 1).
Ответ от учителя
а) Для решения этой задачи нужно найти середину отрезка АВ, которая будет являться точкой М. Для этого нужно найти среднее арифметическое координат точек А и В по оси абсцисс и по оси ординат.
Средняя абсцисса точек А и В: (2+4)/2 = 3
Средняя ордината точек А и В: (3-5)/2 = -1
Точка М имеет координаты (3; -1).
Теперь нужно проверить, что сумма расстояний от точки М до точек А и В действительно минимальна. Для этого можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками на плоскости:
d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Расстояние от точки М до точки А:
d1 = √((3-2)^2 + (-1-3)^2) = √17
Расстояние от точки М до точки В:
d2 = √((3-4)^2 + (-1+5)^2) = √17
Сумма расстояний:
d1 + d2 = √17 + √17 = 2√17
Таким образом, сумма расстояний от точки М до точек А и В действительно минимальна и равна 2√17.
б) Аналогично первому случаю, нужно найти середину отрезка АВ, которая будет являться точкой М.
Средняя абсцисса точек А и В: (-2+3)/2 = 0.5
Средняя ордината точек А и В: (4+1)/2 = 2.5
Точка М имеет координаты (0.5; 2.5).
Теперь нужно проверить, что сумма расстояний от точки М до точек А и В действительно минимальна.
Расстояние от точки М до точки А:
d1 = √((0.5+2)^2 + (2.5-4)^2) = √13.25
Расстояние от точки М до точки В:
d2 = √((0.5-3)^2 + (2.5-1)^2) = √10.25
Сумма расстояний:
d1 + d2 = √13.25 + √10.25 ≈ 6.08
Таким образом, сумма расстояний от точки М до точек А и В равна примерно 6.08.
