Вопрос школьника
В колебательном контуре конденсатору емкостью 10 мкФ сообщили заряд 40 мкКл, после чего в контуре возникли затухающие электромагнитные колебания. Какое количество теплоты выделится к моменту, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет меньше начального максимального напряжения в 4 раза?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон сохранения энергии в колебательном контуре:
$E_{text{полная}} = E_{text{к}} + E_{text{м}} + Q,$
где $E_{text{полная}}$ — полная энергия контура, $E_{text{к}}$ — энергия конденсатора, $E_{text{м}}$ — энергия магнитного поля, $Q$ — количество теплоты, выделившееся в контуре.
Изначально конденсатору сообщили заряд $Q_0 = 40$ мкКл, поэтому начальная энергия конденсатора равна:
$E_{text{к0}} = frac{Q_0^2}{2C} = frac{(40 cdot 10^{-6})^2}{2 cdot 10^{-5}} = 0.008$ Дж.
Максимальное напряжение на конденсаторе равно:
$U_{text{макс}} = frac{Q_0}{C} = frac{40 cdot 10^{-6}}{10 cdot 10^{-6}} = 4$ В.
Когда максимальное напряжение на конденсаторе станет меньше начального максимального напряжения в 4 раза, оно будет равно $U_{text{макс}}/4 = 1$ В.
Таким образом, необходимо найти количество теплоты, выделившееся в контуре до момента, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет равным 1 В.
Максимальная энергия конденсатора достигается в момент времени, когда напряжение на нем равно нулю, а ток в контуре максимален. В этот момент энергия магнитного поля равна:
$E_{text{макс}} = frac{LI_{text{макс}}^2}{2},$
где $L$ — индуктивность контура, $I_{text{макс}}$ — максимальный ток в контуре.
Максимальный ток в контуре можно найти из уравнения колебаний:
$I = I_{text{макс}} e^{-frac{R}{2L}t}.$
Когда максимальное напряжение на конденсаторе станет равным 1 В, ток в контуре будет равен:
$I = I_{text{макс}} e^{-frac{R}{2L}t} = frac{U_{text{макс}}}{sqrt{L/C}} e^{-frac{R}{2L}t} = frac{1}{sqrt{2}R} e^{-frac{R}{2L}t}.$
Теперь можно найти максимальную энергию магнитного поля:
$E_{text{макс}} = frac{LI_{text{макс}}^2}{2} = frac{L}{2} left(frac{U_{text{макс}}}{sqrt{L/C}}right)^2 = frac{U_{text{макс}}^2}{2R} = frac{1}{8} E_{text{к0}}.$
Таким образом, полная энергия контура в момент, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет равным 1 В, будет равна:
$E_{text{полная}} = E_{text{к}} + E_{text{м}} + Q = frac{1}{2} CU^2 + frac{1}{8} E_{text{к0}} + Q.$
Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия контура сохраняется, поэтому:
$E_{text{полная}} = frac{1}{2} CU^2 + frac{1}{8} E_{text{к0}} + Q = E_{text{к0}}.$
Отсюда можно найти количество теплоты, выделившееся в контуре:
$Q = E_{text{к0}} — frac{1}{2} CU^2 — frac{1}{8} E_{text{к0}} = frac{3}{8} E_{text{к0}} — frac{1}{2} CU^2 = frac{3}{8} cdot 0.008 — frac{1}{2} cdot 10^{-5} cdot 1^2 = 2.5 cdot 10^{-5}$ Дж.
Таким образом, к моменту, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет меньше начального максимального напряжения в 4 раза, в контуре выделится количество теплоты, равное 2.5 мкДж.
