Вопрос школьника
В коллекции имеется 25 монет по 1. 2, 3 и 5 копеек. Есть ли среди них 7 монет одинакового достоинства?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом Дирихле, который гласит: если на $n$ объектов приходится $m$ различных меток, причем $n>m$, то хотя бы один объект имеет не менее двух меток.
Применим этот принцип к нашей задаче. В коллекции имеется 25 монет, при этом есть 4 различных достоинства: 1, 2, 3 и 5 копеек. Рассмотрим каждое достоинство отдельно.
1 копейка: в коллекции может быть не более 25 монет этого достоинства.
2 копейки: в коллекции может быть не более $lfloorfrac{25}{2}rfloor=12$ монет этого достоинства.
3 копейки: в коллекции может быть не более $lfloorfrac{25}{3}rfloor=8$ монет этого достоинства.
5 копеек: в коллекции может быть не более $lfloorfrac{25}{5}rfloor=5$ монет этого достоинства.
Таким образом, общее число монет всех достоинств не превышает $25+12+8+5=50$. При этом число различных достоинств равно 4. Применяя принцип Дирихле, получаем, что хотя бы одно достоинство должно быть представлено не менее, чем $lceilfrac{50}{4}rceil=13$ монетами. Так как максимальное число монет одного достоинства не превышает 12, то невозможно, чтобы было 7 монет одного достоинства. Следовательно, ответ на вопрос задачи: нет, среди 25 монет нет 7 монет одинакового достоинства.
