Вопрос школьника
В конусе радиуса R и высоты Н проводятся сечения, параллельные основанию. Выразите как функцию от х площади этих сечений, где х — расстояние от вершины конуса до этих сечений.
Ответ от учителя
Пусть S(x) — площадь сечения, расположенного на расстоянии x от вершины конуса.
Рассмотрим правильный треугольник, образованный вершиной конуса, точкой на основании и точкой на сечении. По условию задачи, этот треугольник подобен треугольнику, образованному основанием конуса, точкой на основании и точкой на сечении. Пусть сторона основания конуса равна a, тогда сторона треугольника, образованного основанием, точкой на основании и точкой на сечении, равна a — (a/h)*x, где h — высота конуса.
Таким образом, площадь треугольника, образованного вершиной конуса, точкой на основании и точкой на сечении, равна (1/2)*R*(a — (a/h)*x), где R — радиус конуса.
Площадь сечения равна площади этого треугольника плюс площадь круга, образованного сечением. Таким образом, S(x) = (1/2)*R*(a — (a/h)*x)^2 + pi*(a — (a/h)*x)^2/4.
Выражая a через R и h, получаем S(x) = pi*R^2*(1 — x/h)^2/4.
Таким образом, площадь сечения, расположенного на расстоянии x от вершины конуса, является квадратичной функцией от x.
