Вопрос школьника
В коробке лежат 2 красных, 4 зеленых и 10 синих карандашей. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш будет:
1) червонного; 2) зеленым: 3) но зеленом?
Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно был синий карандаш?
Ответ от учителя
1) Всего в коробке 2+4+10=16 карандашей. Вероятность того, что наугад взятый карандаш будет красным, равна количеству красных карандашей (2) к общему количеству карандашей (16): 2/16 = 1/8.
2) Аналогично, вероятность того, что наугад взятый карандаш будет зеленым, равна количеству зеленых карандашей (4) к общему количеству карандашей (16): 4/16 = 1/4.
3) Вероятность того, что наугад взятый карандаш будет не зеленым, равна количеству не зеленых карандашей (2+10=12) к общему количеству карандашей (16): 12/16 = 3/4. Тогда вероятность того, что наугад взятый карандаш будет зеленым, равна единице минус вероятность того, что он не зеленый: 1 — 3/4 = 1/4.
4) Чтобы гарантированно взять синий карандаш, нужно взять все карандаши, потому что в коробке есть только красные, зеленые и синие карандаши, и если взять, например, только два карандаша, то они могут быть любого цвета, кроме синего. Если же нужно найти наименьшее количество карандашей, при котором вероятность того, что среди них будет синий карандаш, равна 1, то можно воспользоваться противоположным событием: вероятность того, что среди n карандашей не будет синего, равна количеству комбинаций из карандашей, которые не являются синими, деленному на общее количество комбинаций из n карандашей. Количество комбинаций из карандашей, которые не являются синими, равно сумме количества комбинаций из красных и зеленых карандашей для каждого возможного количества карандашей от 1 до n-1. Общее количество комбинаций из n карандашей равно 3^n (так как каждый карандаш может быть одного из трех цветов). Тогда вероятность того, что среди n карандашей не будет синего, равна сумме количества комбинаций из красных и зеленых карандашей для каждого возможного количества карандашей от 1 до n-1, деленной на общее количество комбинаций из n карандашей: P = (2^1 + 2^2 + … + 2^(n-1))/3^n. Чтобы найти наименьшее n, при котором P < 1, можно перебирать значения n, начиная с 1, и вычислять соответствующие значения P, пока не будет найдено наименьшее n, при котором P >= 1. Например, для n=4: P = (2^1 + 2^2 + 2^3)/3^4 = 14/81 < 1, а для n=5: P = (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)/3^5 = 50/243 >= 1, значит, наименьшее количество карандашей, при котором гарантированно будет синий карандаш, равно 5.
