Вопрос школьника
В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Ответ от учителя
Предположим, что в корзине лежит $x$ рыжиков и $y$ груздей. Тогда общее количество грибов в корзине равно $x+y=30$.
Также из условия задачи следует, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик. Это означает, что любые 12 грибов в корзине содержат хотя бы один рыжик. Мы можем выбрать 12 грибов из 30 на $binom{30}{12}$ способов. Количество способов выбрать 12 грибов без рыжиков равно $binom{y}{12}$ (мы выбираем 12 грибов из $y$ груздей). Тогда количество способов выбрать 12 грибов с хотя бы одним рыжиком равно $binom{30}{12}-binom{y}{12}$.
Но мы также знаем, что среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Это означает, что любые 20 грибов в корзине содержат хотя бы один груздь. Мы можем выбрать 20 грибов из 30 на $binom{30}{20}$ способов. Количество способов выбрать 20 грибов без груздей равно $binom{x}{20}$ (мы выбираем 20 грибов из $x$ рыжиков). Тогда количество способов выбрать 20 грибов с хотя бы одним груздем равно $binom{30}{20}-binom{x}{20}$.
Но мы знаем, что количество способов выбрать 12 грибов с хотя бы одним рыжиком равно количеству способов выбрать 20 грибов с хотя бы одним груздем. Таким образом, мы получаем уравнение:
$$binom{30}{12}-binom{y}{12}=binom{30}{20}-binom{x}{20}$$
Решая это уравнение, мы получаем $x=16$ и $y=14$. Значит, в корзине лежит 16 рыжиков и 14 груздей.
