Вопрос школьника
В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Ответ от учителя
Предположим, что в корзине лежит $x$ рыжиков и $y$ груздей. Тогда общее количество грибов в корзине равно $x+y=40$.
Также из условия задачи следует, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик. Это означает, что если мы возьмем любые 17 грибов из корзины, то хотя бы один из них будет рыжиком. Мы можем выбрать 17 грибов из $x$ рыжиков и $y$ груздей следующим образом:
1. Если выбранных рыжиков меньше 17, то мы дополняем выбор груздями до 17 грибов.
2. Если выбранных рыжиков больше или равно 17, то мы дополняем выбор груздями до 25 грибов.
Таким образом, мы можем записать следующее неравенство:
$$x geq frac{17}{25} cdot 40 approx 27.2$$
Это означает, что в корзине должно быть как минимум 28 рыжиков.
Аналогично, из условия задачи следует, что среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Это означает, что если мы возьмем любые 25 грибов из корзины, то хотя бы один из них будет груздем. Мы можем выбрать 25 грибов из $x$ рыжиков и $y$ груздей следующим образом:
1. Если выбранных груздей меньше 25, то мы дополняем выбор рыжиками до 25 грибов.
2. Если выбранных груздей больше или равно 25, то мы дополняем выбор рыжиками до 17 грибов.
Таким образом, мы можем записать следующее неравенство:
$$y geq frac{25}{17} cdot 40 approx 58.8$$
Это означает, что в корзине должно быть как минимум 59 груздей.
Таким образом, мы получили два неравенства:
$$x geq 28$$
$$y geq 59$$
Из этих неравенств следует, что:
$$x+y geq 28+59 = 87 > 40$$
Это противоречит условию задачи, что в корзине лежит ровно 40 грибов. Значит, мы сделали неверные предположения о количестве рыжиков и груздей в корзине.
Мы можем рассмотреть другие возможные значения $x$ и $y$ и проверить, удовлетворяют ли они условиям задачи. Например, если $x=20$ и $y=20$, то среди любых 17 грибов мы можем выбрать все 20 рыжиков, а среди любых 25 грибов мы можем выбрать все 20 груздей. Таким образом, это решение удовлетворяет условиям задачи.
Ответ: в корзине лежит 20 рыжиков и 20 груздей.
